Hoppa till innehållet

Sylows satser

Från Wikipedia

Sylows satser är en samling matematiska satser inom gruppteori uppkallade efter Ludwig Sylow[1] . Sylows första sats ger ett tillräckligt villkor för att en ändlig grupp ska ha en undergrupp av ordning där p är ett primtal. Sylows andra sats säger att två p-Sylowundergrupper är konjugerade och Sylows tredje sats uttalar sig om antalet p-Sylowundergrupper.

Sylows satser och p-Sylowundergrupper är mycket viktiga inom ändlig gruppteori, speciellt inom klassificering av ändliga enkla grupper. På sätt och vis är Sylows satser en omvändning till Lagranges sats.

p-Sylowundergrupper

[redigera | redigera wikitext]

För ett primtal p är en p-grupp en grupp sådan att varje element i gruppen har ordning som är en potens av p. Dvs, om g är ett element i gruppen finns ett tal så att är identitetselementet. En p-undergrupp till en grupp G är en undergrupp som är en p-grupp.

En p-Sylowundergrupp H är en maximal p-undergrupp, dvs en p-undergrupp sådan att det finns någon annan p-undergrupp som innehåller H.

Sylows satser

[redigera | redigera wikitext]

Sylows första sats

[redigera | redigera wikitext]

Om G är en ändlig grupp, p är ett primtal och delar så finns en undergrupp i G av ordning .

En enkel följdsats av den här satsen är Cauchys sats: För varje ändlig grupp G och varje primtal p som delar så finns ett element i G med ordning p.

Sylows andra sats

[redigera | redigera wikitext]

För en ändlig grupp G och ett primtal p, så är alla p-Sylowundergrupper i G konjugerade (och därför isomorfa), dvs om H och K är p-Sylowundergrupper finns ett element g i G så att .

Sylows tredje sats

[redigera | redigera wikitext]

Om G är en ändlig grupp, p är ett primtal som delar och är antalet p-Sylowundergrupper i G så är en delare till och .

Ur Sylows satser följer det att för varje primtal p är varje p-Sylowundergrupp av samma ordning, , och omvänt är varje delgrupp av ordning en p-Sylowundergrupp.

Ur Sylows tredje sats följer det att om är p-Sylowundergruppen till G en normal delgrupp.

Låt G vara en grupp med ordning 15 = 3 · 5. Sylows tredje sats ger att måste dela 5 och vara 1 (mod 3), vilket ger att . Alltså finns endast en undergrupp av ordning 3 och den är normal. På samma sätt får man att det bara finns en undergrupp av ordning 5 och att även den är normal. Då 5 och 3 är relativt prima så är snittet mellan undergruppen trivialt, vilket ger att G är den inre direkta produkten av grupper av ordning 3 och 5, dvs den cykliska gruppen av ordning 15. Alltså finns, upp till isomorfi, endast en grupp av ordning 15.

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Sylow theorems, 14 april 2009.