Pravougli trougao čije su dužine stranica prirodni brojevi zovemo Pitagorin trougao. Uredenu trojku prirodnih brojeva (x, y, z) zovemo Pitagorina trojka ako su x i y katete, a z hipotenuza nekog Pitagorinog
trougla, tj. ako vrijedi:
Ako su x, y i z relativno prosti, onda kažemo da
je (x, y, z) primitivna Pitagorina trojka.
Proučavanje Pitagorinih trouglova u uskoj je vezi s diofantskom jednačinom
- U svakom Pitagorinom trouglu važi
- dužina bar jedne katete djeljiva je sa 3,
- dužina bar jedne katete djeljiva je sa 4,
- dužina bar jedne stranice djeljiva je sa 5.
Neka je Pitagorina trojka (x, y, z) primitivna.
Uocimo najprije da kvadrat prirodnog broja koji nije djeljiv s 3 pri dijeljenju s 3 daje ostatak 1.
![{\displaystyle (3k+1)^{2}=9k^{2}+6k+1=3(3k^{2}+2k)+1}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/988b1603e380d277a82d4b5c31847e593896f061)
![{\displaystyle (3k-1)^{2}=9k^{2}-6k+1=3(3k^{2}-2k)+1}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60460560a9ec5c415c8cf9ac9c8f947dc046f839)
Ako x i y i nisu djeljivi sa 3 , z2
pri dijeljenju sa 3 ima ostatak 2
![{\displaystyle 1+1=2}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765a300cb508007cd35fca7fb44f9fc3888dcd96)
što je nemoguće jer smo pokazali da kvadrat prirodnog broja pri dijeljenju s 3 daje ostatak 0 ili 1
Pokažimo najprije da kvadrat neparnog broja pri dijeljenju sa 8 daje ostatak 1. Zaista,
![{\displaystyle (2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1=4k(k+1)+1}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93df8169509601f945c466b596876a930e10f99c)
- Broj
je paran kao proizvod dva susjedna cijela broja. Odavde odmah slijedi da x i y ne mogu biti oba neparni jer bi u protivnom broj z2
pri dijeljenju sa 8 davao ostatak 2, tj. bio bi paran, a ne bi bio djeljiv sa 4. Dakle, zbog primitivnosti, možemo pretpostaviti da je x neparan, a y paran. Sada je z neparan, pa iz
y2 djeljiv sa 8, odnosno y je djeljiv sa 4.
ili
ili
slijedi da kvadrat cijelog broja pri dijeljenju s 5 može dati ostatak O, 1 ili 4. Pretpostavimo sada da ni x ni y nisu djeljivi sa 5.
Brojevi x2 i x2 pri dijeljenju s 5 mogu dati ostatke 1 ili 4, a to znači da broj
pri dijeljenju s 5 može dati ostatak 2, 3 ili O.
- z2 kao kvadrat cijelog broja ne može pri dijeljenju sa 5 dati ostatak 2 ili 3, pa zakljucujemo da je z2 djeljiv s 5.
- Pitagorine trojke mogu biti 3 uzastopna broja.
Tražena Pitagorina trojka je (3,4,5)
- Pitagorine trojke mogu biti 3 uzastopna člana aritmetičkog niza
![{\displaystyle (x-k)^{2}+x^{2}=(x+k)^{2}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e96be685d0f56b7d946deb11d8e5e918b09e9f)
![{\displaystyle x^{2}-2kx+k^{2}+x^{2}=x^{2}+k2x+k^{2}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30152edc360dfb5a208683fbbee0958914dfcc0f)
![{\displaystyle x^{2}-4kx=0}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1915b94b352db913a5114be90e088e399e7f7c2c)
![{\displaystyle x(x-4k)=0=>x=4k}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1133ffe2a41d447f78a9a54e733febb64ea6af1)
- Tražena Pitagorina trojka je (3k,4k,5k)
Sve primitivne Pitagorine trojke (x,y,z) kojima je y paran, date su formulama:
![{\displaystyle x=m^{2}-n^{2}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97c6324de729cc7c7381b69052b847fdc1efc146)
![{\displaystyle y=2mn}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c9e5c8b7331ace3887b885ec635f4102a37fb9)
![{\displaystyle z=m^{2}+n^{2}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b3f420515330efefe4b1f3601f296a6657c590e)
- gdje je
i m, n su relativno prosti brojevi različite parnosti.
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24defb565dbcba7850e1bfb51176bcf574b4e56b)
![{\displaystyle y^{2}=(z+x)(z-x)}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04a0793df7be5b8b86e497c7fb9fd94a2351ac4e)
Neka je :
. Brojevi
i
su parni pa postoje pa postoje prirodni brojevi a i b takvi da je
i
![{\displaystyle z-x=2b}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2257f81757eeb7c7207748ab90eef5205140f236)
![{\displaystyle 4c^{2}=4ab=>c=ab}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1043f1ae84d650cdff41411d8c737b5d3861b352)
Kako su
i
to su
i
relativno prosti. Prema tome postoje relativno prosti prirodni brojevi
i
takvi da je
i
pa je
![{\displaystyle x=m^{2}-n^{2}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97c6324de729cc7c7381b69052b847fdc1efc146)
![{\displaystyle y=2mn}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c9e5c8b7331ace3887b885ec635f4102a37fb9)
![{\displaystyle z=m^{2}+n^{2}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b3f420515330efefe4b1f3601f296a6657c590e)
Brojevi m i n ne mogu biti oba parni jer su relativno prosti i ne mogu biti oba neparni jer je
neparan. Prema tome, brojevi m i n su različite parnosti.
![{\displaystyle (m^{2}-n^{2})2+(2mn)^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}.:}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce10464a990983b72ec596650bc555484ba05844)
![{\displaystyle (m^{4}-2m^{2}n^{2}+m^{4}+4m^{2}n^{2}=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}=(m^{2}+n^{2})^{2}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1891a1dab7b9cee9258135b116581d6372a197f3)
Treba provjeriti da su relativno prosti. Pretpostavimo da brojevi
i
imaju zajednički faktor d > 1 , d je neparan
- Ovo je u kontradikciji s pretpostavkom da su m i n pa i m2 i n2 relativno prosti.
Sve Pitagorine trojke date su identitetom
Sve Pitagorine trojke čiji su članovi manji od 51 su
(3,4,5) |
(12,16,20) |
(18,24,30) |
(24,32,40)
|
(6,8,10) |
(15,20,25) |
( 16,30,34) |
(9,40,41)
|
(5,12,13 |
((7,24,25) |
(21,28,35) |
(27,36,45)
|
(9,12,15) |
(10,24,26) |
(12,35,37) |
(30,40,50)
|
(8,15,17) |
(20,21,29) |
(15,36,39 |
(14,48,50)
|
Ima ih 20 ako trojke
i
smatramo jednakima. Među njima je 7 primitivnih.
Broj
primitivnih Pitagorinih trokuta s hipotenuzom
približno jednak
Pitagorine trojke