Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Metoda Sheparda – sposób aproksymacji wielowymiarowej dla rozproszonych zbiorów znanych punktów aproksymacyjnych.
Ogólna postać metody Sheparda dla znalezienia wartości aproksymowanej
dla danego punktu
ma formę funkcji:
![{\displaystyle u(\mathbf {x} )={\frac {\sum _{k=0}^{N}{w_{k}(\mathbf {x} )u_{k}}}{\sum _{k=0}^{N}{w_{k}(\mathbf {x} )}}},}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103afc382d20c6a5c7c434a2e9e037cfb5ae81db)
gdzie:
– współczynnik wagowy wprowadzony przez Sheparda[1],
– dowolny punkt aproksymowany,
– znany punkt aproksymacyjny,
– określony operatorem metryki,
– całkowita liczba punktów aproksymacyjnych,
– parametr.
W tym przypadku wartość współczynnika wagowego zmniejsza się wraz ze wzrostem odległości pomiędzy punktem aproksymowanym
a punktem aproksymującym
Dla
ma ostre wierzchołki nad punktami aproksymującymi, a dla
jest gładka. Najczęściej przyjmuje się
Metoda Sheparda wynika z minimalizacji funkcjonału określającego miarę odchyłek pomiędzy punktem aproksymowanym i odpowiadającą mu wartością aproksymowaną a krotkami punktów aproksymacyjnych
zdefiniowanego jako:
![{\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,u)=\left(\sum _{k=0}^{N}{\frac {(u-u_{k})^{2}}{d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})^{p}}}\right)^{\frac {1}{p}}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdad9fe7ce97ab4cf3da3180e9ed8c69f406be3d)
oraz warunku minimalizacji:
![{\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {x} ,u)}{\partial u}}=0.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb6d6f1b9c3e99775fbb89594b8107c8c22139ca)
Modyfikacja metody Sheparda została zaproponowana w pracy Liszki[2] w zastosowaniach do zagadnień aproksymacyjnych mechaniki doświadczalnej. Zaproponowano tu nowy współczynnik wagowy:
![{\displaystyle w_{k}(\mathbf {x} )={\frac {1}{(d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})^{2}+\varepsilon ^{2})^{\frac {1}{2}}}},}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f9a503d543120a8f9abbc675bacf92d1a5e7900)
gdzie
dobiera się w zależności od błędu pomiaru punktów aproksymacyjnych.
- ↑ Donald Shepard, A two-dimensional interpolation function for irregularly-spaced data, Proceedings of the 1968 ACM National Conference, s. 517–524.
- ↑ T. Liszka, An Interpolation Method for an Irregular Net of Nodes, „Wyd. Int. J. for Num. Meth. In Engng”, 1984.