Wirtz syntyi DeKalbissa, Illinois'n osavaltiossa. Hän valmistui Harvardin lakikoulusta ja toimi myöhemmin lain professorina. Hän toimi lakialalla myös ministeriytensä jälkeen.
Wirtzistä tuli Yhdysvaltain vanhin elossa ollut entinen tai nykyinen ministeri 2. helmikuuta 2008, kun Earl Butz kuoli 98-vuotiaana.